モンティホール問題

モンティホール問題とは？わかりやすく解説

3枚のドア（扉）のうち1枚の後ろに車、残りの2枚の後ろにはヤギがいます。

1. あなたがドアを1枚選ぶ
2. 車の場所を知っている司会者が、残りの2枚からヤギのドアを1枚開ける
3. 「ドアを変えますか？」と聞かれる

残りは2枚なので五分五分に思えますが、変えたほうが2倍当たります。

「モンティ・ホール問題」の名前は、アメリカのテレビ番組の司会者から来ています。

変えると当たる確率は2/3、変えないと1/3

最初にドア1を選んだときの3通りです。どれも同じ確率で起こります。

変えて当たるのは3通りのうち2通り、そのままで当たるのは1通りです。

必ず変える人は、最初に外れれば必ず当たる

最初の1枚がヤギなら、司会者はもう1枚のヤギを開けるしかありません。残ったドアは必ず車です。

最初に外れる確率は2/3なので、変えると2/3で当たります。

ドア100枚で考えると直感でも分かる

100枚から1枚を選ぶと当たる確率は1/100です。司会者は残り99枚からヤギの98枚を開け、1枚だけ残します。

あなたの1枚と、わざわざ残された1枚。どちらに車がありそうでしょうか。100枚のドアで試す

司会者が当たりを知っているから確率が変わる

司会者が車の場所を知らずに適当に開け、たまたまヤギだった場合は、変えても変えなくても1/2です。

必ずヤギを開けると決まっているから、あなたが外していれば残りが必ず車になります。

「1000回試す」の設定で司会者を「知らない」にすると、どちらも50%付近に落ち着きます。

よくある質問

残り2枚なら1/2では？

2枚の条件が違います。あなたのドアは司会者が開けられないドアで、もう1枚は開けられるのに残されたドアです。最初の1枚は1/3のままで、もう1枚に2/3が集まります。

納得できない・おかしい・嘘では？

「1000回試す」で確かめられます。変えるほうが約2倍当たります。数学者のポール・エルデシュも、コンピュータの試行を見るまで納得しなかったと伝えられています。

条件付き確率で書くと？

ドア1を選び、司会者がドア3を開けたとします。司会者がドア3を開ける確率は 1/3×1/2＋1/3×1＝1/2 です。ベイズの定理で P(車がドア2｜ドア3が開く)＝(1×1/3)÷(1/2)＝2/3 となります。

なぜ有名になった？

1990年にアメリカの雑誌 Parade のコラムで、マリリン・ボス・サバントが「変えるべき」と答えました。読者から約1万通の手紙が届き、多くは反論で、博士号を持つ人も1000人近くいました。

変えても外れるのはなぜ？

最初の1枚が車だったときは、変えると外れます。3回に1回はそうなるので、2/3は「必ず」ではありません。